按 Prof. Linhart 真实出卷风格的三张模拟卷（1/2/3，允许部分重叠）+ 考官追问链 + 答案钥匙。讲义见 主题 4 — 范式实验。口试约 10 分钟：推导要在黑板上逐步写出，计算只需展示与讨论（量级、单位、合理性）。

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Zettel 1 — 卡文迪许 + 密立根（Cavendish + Millikan）

„Im Paradigma der klassischen Physik — also noch ganz ohne Quanten: Wir fragen, wie man Unmessbares messbar macht."（在经典物理的范式之内——还完全没有量子：我们要问，如何把测不到的东西变得可测。）

1. Erkläre 卡文迪许实验（1798）：问题（$G$ 多大？牛顿为何始终没测出？）、扭秤（Torsionswaage）装置、平衡条件 $F_H=F_G$、以及用弹簧秤做的平行测量（Parallelmessung，为何允许从大角度外推？）。课堂演示式说明镜子的妙用（Spiegel-Trick）——为什么没有它运动根本看不见？激光笔照墙就是日常版。
2. Ableitung： 从 $F_H=F_G$ 出发，把 $G$ 解出来；再推导「称量地球（Wiegung der Erde）」：$M_E={\displaystyle \frac{g{R}_E^2}{G}}$（试验质量为何约掉？）。
3. Rechenbeispiel 1（Cavendish）： 标定给出平衡力 $F_G=F_H=1,5\cdot {10}^{-7}\text{N}$，小球 $m_1=0,73$ kg，大球 $m_2=158$ kg，球心间距 $r=\mathrm{0,225}$ m。算出 $G$，并与文献值 $\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}{\text{N·m}}^2/{\text{kg}}^2$ 比较。随后用文献值、$g=9,81{\text{m/s}}^2$、$R_E=6371$ km 算出地球质量。
4. Erkläre 密立根实验（1910–1913）：问题、平行板电容器装置、为什么必须分三个阶段（一句话点出难点：$m$ 称不出来）、为什么真空中不行、为什么用油不用水。
5. Rechenbeispiel 2（Millikan）： 测得一批油滴电荷（单位 ${10}^{-19}$ C）：$3,2/4,8/8,0/6,4/3,2$。读出公共「步长」、写成 $Q=n\cdot e$ 并给出各 $n$。为什么台阶之间的空白（Lücken）恰恰证明了量子化？
6. 科学理论弯钩：„Warum heißen diese Experimente paradigmatisch?" 这两个实验各推翻了什么旧观念、立起了什么新观念？

Zettel 2 — 卢瑟福 + 双缝（Rutherford + Doppelspalt）

„Wir verlassen jetzt das klassische Paradigma — und schauen zu, wie es zerbricht."（现在我们离开经典范式——看着它如何碎裂。）

1. Erkläre 卢瑟福实验（1909–1911）：之前的图像（汤姆孙葡萄干蛋糕模型）、装置（α 射线、薄金箔、荧光屏）。为什么偏偏用金？ 汤姆孙模型会预言观察到什么？
2. Ableitung（逻辑链重构）： 在黑板上重构三行逻辑表——三项观察 → 三个结论（大多数畅通 → ？；少数轻微偏转 → ？；极少数强烈弹回 → ？），并给出综合结论（核-壳模型）。
3. Erkläre 双缝实验的三种情形：经典粒子、经典波、量子客体（单个光子）各自在屏上留下什么？19 世纪为何认定「光是波」？Alltagsbeispiel： 水波穿过防波堤的两个缺口。
4. Erkläre 波函数：$|\psi {|}^2$ 是什么？为什么要取模平方？单光子图样如何驳倒纯波动图像？
5. Rechenbeispiel（Heisenberg，由双缝衍射引出）： 把一个电子限制在原子尺度 $\mathrm{\Delta }x=1,0\cdot {10}^{-10}$ m 内。用 $\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge {\displaystyle \frac{\hslash }{2}}$（$\hslash =\mathrm{1,055}\cdot {10}^{-34}$ J·s，$m_e=9,11\cdot {10}^{-31}$ kg）估算最小动量不确定度与对应速度不确定度。讨论： 这说明原子里的电子为什么不可能「静止躺平」？
6. 科学理论弯钩：Welcher-Weg-Information——„Was ‚zerstört' das Messen?" 装上「哪条路」探测器后发生什么？这对量子世界里「测量」这个概念意味着什么？

Zettel 3 — 混合卷（每实验一问 + 密立根完整三阶段推导）

„Vier Experimente, vier gestürzte Weltbilder — und einmal rechnen wir ganz durch."（四个实验、四个被推翻的世界图景——其中一个我们从头算到尾。）

1. Rutherford： 三项观察里哪一项是真正的轰动？为什么「就像一发炮弹被一张薄纸弹回来」？
2. Cavendish： 实验真正的难点是什么（力的量级！）？装置用哪四招应对（箱子、望远镜、镜子、转台）？
3. Doppelspalt： 单个光子打到屏上是一个点——为什么积累后又出现干涉图样就足以同时驳倒纯粒子与纯波动图像？屏上会不会出现「半个光子」？
4. Millikan——完整三阶段推导 + Rechenbeispiel： 给定 $\eta =1,82\cdot {10}^{-5}$ Pa·s（空气黏度）、$\rho =900{\text{kg/m}}^3$（油密度）、匀速下沉速度 $v=1,0\cdot {10}^{-4}$ m/s、板间距 $d=6,0$ mm、悬浮电压 $U=620$ V、$g=9,81{\text{m/s}}^2$。 a) 第 1 阶段（悬浮）： 写出受力平衡，形式上解出 $Q$——为什么此时还算不出来？ b) 第 2 阶段（下沉）： 从 $6\pi \eta rv=mg$ 与 $m=\rho \frac{4}{3}\pi r^3$ 推导 $r=\sqrt{{\displaystyle \frac{9\eta v}{2g\rho }}}$，代入数字求 $r$ 与 $m$。 c) 第 3 阶段（分析）： 求 $Q$，写成 $Q=n\cdot e$ 并确定 $n$。
5. 科学理论弯钩：„Was ist ein Paradigma — und ist das alte Paradigma dann falsch?"（期待：有的旧图景被干净利落地驳倒（葡萄干蛋糕），但理论如经典力学只是被限定了适用范围——falsch ≠ 全错。）

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考官追问链 / Nachfragen-Kette

1. „Warum heißen diese Experimente paradigmatisch — was genau wird da gestürzt?"
2. „Eine Kanonenkugel prallt an Seidenpapier ab — was hat das mit Rutherford zu tun?"（轶事式）
3. „Hätte Rutherford das auch mit Alufolie machen können?"（挑衅题）
4. „Newton kannte sein Gravitationsgesetz selbst — warum hat er $G$ nie gemessen?"
5. „Cavendish wollte eigentlich gar nicht $G$ messen — was wollte er wirklich?"（轶事式）
6. „Wozu der Spiegel? Und warum verdoppelt er den Winkel?"
7. „Könnte man Millikan im Vakuum machen? Wäre doch viel sauberer!"（误区纠偏）
8. „Warum Öl und nicht Wasser?"
9. „Sie schicken ein einzelnes Photon — wo landet es? Können Sie es mir vorher sagen?"
10. „Kommt am Schirm je ein halbes Photon an?"（误区纠偏）
11. „Was glauben die meisten Physiker: Geht das Photon durch einen Spalt oder durch beide?"
12. „Millikan fand nie $Q=0,5e$. Heute redet man von Quarks mit $e/3$ — widerspricht das Millikan?"（挑衅题）

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§§ANTWORTEN

Zettel 1

1. Cavendish： 牛顿知道 $F_G=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$ 却始终没测出 $G$（两球间引力太微小；最早只有「山对摆的偏转」式粗估）。装置： 两小球挂在水平杆两端、细丝悬挂；两大球靠近 → 引力使杆转动 → 丝被扭转，产生回复性胡克力；平衡时 $F_H=F_G$。平行测量： 用弹簧秤标定细丝（多大的力扭多大角）→ 得 $F_H(\alpha )$；因胡克力线性，可用大角度测量外推到小角度。镜子： 杆上的镜子把光束投到远墙，微小转动 → 光点大幅移动（等腰三角形几何）；且镜子转 $\mathrm{\Theta }$、光束转 $2\mathrm{\Theta }$（反射定律）——角度加倍更易测。德语关键句：„Eine winzige Drehung des Stabs wird zu einer großen Wanderung des Lichtflecks — sonst wäre die Bewegung unsichtbar." → §4.2
2. Ableitung： 平衡 $F_G=F_H$（已知），$F_G=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$ → 两边乘 $r^2$、除以 $m_1{m}_2$：$$G = \frac{F_G, r^2}{m_1, m_2}$$ 称量地球： 地表对试验体 $m$：$mg=G\frac{M_{E}m}{R_E^2}$——试验质量 $m$ 在两边约掉（这正是「所有物体等速下落」的体现）→ $$M_E = \frac{g, R_E^2}{G}$$ → §4.2 分析逐步推导
3. Rechenbeispiel 1：$$G=\frac{1,5\cdot {10}^{-7}\cdot (\mathrm{0,225}{)}^2}{0,73\cdot 158}=\frac{1,5\cdot {10}^{-7}\cdot \mathrm{0,050}625}{115,34}=\frac{7,59\cdot {10}^{-9}}{115,34}\approx 6,6\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{N·m}}^2}{{\text{kg}}^2}$$与文献值 $\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}$ 偏差约 1–2 %——对扭秤而言极好。地球质量（用文献值）：$$M_E=\frac{9,81\cdot (\mathrm{6,371}\cdot {10}^6{)}^2}{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}}=\frac{9,81\cdot \mathrm{4,059}\cdot {10}^{13}}{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}}=\frac{\mathrm{3,982}\cdot {10}^{14}}{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}}\approx 5,97\cdot {10}^{24}\text{kg}$$验算/合理性： ${\mathrm{0,225}}^2=\mathrm{0,050}625$ ✓；$0,73\times 158=115,34$ ✓；${\mathrm{6,371}}^2=40,59$ ✓；结果与公认地球质量 $5,97\cdot {10}^{24}$ kg 一致 ✓。单位：$\frac{{\text{N·m}}^2}{{\text{kg}}^2}$ ✓、kg ✓。→ §4.2
4. Millikan： 问题——电荷可无限细分，还是有最小电荷？装置——水平平行板电容器（电压可调）、喷雾摩擦带（负）电的油滴、显微镜观察。三阶段的原因： 悬浮条件 $QE=mg$ 里 $m$ 称不出来 → 需要下沉阶段借 Stokes 阻力定 $m$。真空不行： 第 2 阶段需要 Stokes 空气阻力。油不用水： 水滴在数分钟观察中蒸发，$m,r$ 不断变化，分析就垮了；油几乎不挥发。→ §4.3
5. Rechenbeispiel 2： 各值（${10}^{-19}$ C）：$3,2;4,8;8,0;6,4;3,2$。公共步长 = $1,6\cdot {10}^{-19}$ C：$$3,2=2e,4,8=3e,8,0=5e,6,4=4e,3,2=2e$$验算： $2\times 1,6=3,2$ ✓；$3\times 1,6=4,8$ ✓；$5\times 1,6=8,0$ ✓；$4\times 1,6=6,4$ ✓——全部整除，无余数 ✓。空白的意义： 若电荷可任意细分，测量值就该均匀铺满（没有空白）；只坐落在固定格点上只能意味着存在最小、不可再分的电荷份额。德语关键句：„Dass die Werte nur auf einem festen Raster sitzen, kann nur bedeuten, dass es eine kleinste, unteilbare Ladungsportion gibt." → §4.3 第 3 阶段
6. 弯钩： 范式实验 = 用测量而非思辨回答根本问题、推翻旧基本观念并立起新观念。Cavendish： 引力首次在实验室可测 → $G$ 成为自然常数、地球「可称量」——天上的力降到了实验台上。Millikan： 「电荷可无限细分」被推翻 → 电荷量子化。德语关键句：„Ein paradigmatisches Experiment beantwortet eine Grundsatzfrage durch Messung statt durch Spekulation." → §4 导言

Zettel 2

1. Rutherford： 之前是汤姆孙葡萄干蛋糕模型——正电荷均匀「抹开」、电子嵌在其中。装置：α 射线（双正电荷氦核）轰击薄金箔，四周荧光屏记录散射角（1909 Geiger & Marsden 实验，1911 卢瑟福解释）。为什么用金： 延展性极好 → 可打成仅几百个原子层厚（路径上原子尽量少）；金核又重、电荷又多 → 强偏转才可能。汤姆孙的预言： 正电荷抹匀、处处场弱 → 所有 α 粒子几乎不受扰动地穿过，绝无弹回——「弹回」正是两个模型的裁决点。→ §4.1
2. 三行逻辑： (i) 大多数畅通无阻 → 没东西挡路 → 原子大部分是空的；(ii) 少数轻微偏转 → 库仑斥力、曾靠近带正电的东西 → 原子内有正电荷；(iii) 极少数强烈弹回 → 只有极小、极重的靶能把快速粒子原路弹回 → 正电荷集中在又小又重的核里。综合： 原子大部分是空的 + 又小又重带正电的核 → 核-壳模型。→ §4.1
3. 三种情形： 经典粒子——两缝正后方各一处堆积，只是叠加、无干涉；经典波——两缝作为波源相互叠加 → 明暗相间的干涉图样（19 世纪由此认定光是波）；量子客体——单个光子各打一个点，大量积累后又出现干涉图样 → 波粒二象性（电子、中子、原子乃至约 1000 个原子的分子同样如此）。防波堤缺口 = 经典波情形的日常版。→ §4.4 三种情形
4. 波函数： $|\psi {|}^2$ = 打中某处的概率；$\psi$ 是复数量 → 必须取模平方才得到实数概率。驳倒纯波动图像： 波的强度可任意调小，但真正的单个光子只能打在一个位置——可平均下来仍出现图样。唯一解释：光子同时通过两条缝并与自己干涉（Superposition）。德语关键句：„Das Photon geht gleichzeitig durch beide Spalte und interferiert mit sich selbst." → §4.4 波函数
5. Rechenbeispiel：$$\mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{1,055}\cdot {10}^{-34}}{2\cdot 1,0\cdot {10}^{-10}}\approx 5,3\cdot {10}^{-25}\text{kg·m/s}$$$$\mathrm{\Delta }v=\frac{\mathrm{\Delta }p}{m_e}=\frac{5,3\cdot {10}^{-25}}{9,11\cdot {10}^{-31}}\approx 5,8\cdot {10}^5\text{m/s}\approx 580\text{km/s}$$验算： $\mathrm{1,055}/2=\mathrm{0,527}5$ → $\mathrm{0,527}5\cdot {10}^{-34}/{10}^{-10}=\mathrm{5,275}\cdot {10}^{-25}$ ✓；$\mathrm{5,275}/9,11=\mathrm{0,579}$ → $\mathrm{0,579}\cdot {10}^6=5,79\cdot {10}^5$ ✓；远小于光速（约 $0,2\mathrm{\%}c$）→ 非相对论估算自洽 ✓。讨论： 把电子限制在原子尺度，其速度不确定度就高达数百 km/s——「静止躺平」的电子违反不确定性原理，所以原子里的电子必然「动个不停」。→ §4.4 双缝衍射
6. 弯钩： 装上**「哪条路」探测器**（测出走了哪条缝）→ 干涉图样消失、波函数「坍缩」（退相干）。被「摧毁」的不是光子，而是叠加态：一旦路径信息存在，两条路径就不再能相互干涉。这意味着量子世界里测量不是旁观——它本身就是干预，改变系统状态。德语关键句：„Baut man einen Welcher-Weg-Detektor ein, verschwindet das Interferenzmuster — die Wellenfunktion kollabiert." → §4.4

Zettel 3

1. 轰动点： 极少数强烈弹回。按葡萄干蛋糕模型场处处微弱、绝无弹回——快速 α 粒子被几乎原路弹回，就像「一发炮弹被一张薄纸弹回来」；只有极小、极致密的电荷集中能解释 → 模型被推翻。→ §4.1
2. 难点： 两球间引力量级仅 $\sim {10}^{-7}$ N（远小于一粒沙的重量）；气流、震动、微小温差（空气对流！）都会淹没信号。四招： 密闭箱子隔绝干扰；在外面用望远镜读数；镜子妙用（微小转动 → 光点大幅移动、角度加倍）；转台做镜像第二次测量 → 扭转角加倍、精度更高。→ §4.2
3. 单光子裁决： 单个光子只打一个点 → 驳倒纯波动图像（波该铺开）；大量积累后出现干涉图样 → 驳倒纯粒子图像（粒子只会堆出两个包）。两者只能以波粒二象性统一。半个光子？ 从不——屏上每次记录到的都是一整个光子；「分裂」的只是波函数，不是光子。→ §4.4
4. Millikan 完整推导：a) 悬浮： $F_E=F_G$ → $QE=mg$ → $Q={\displaystyle \frac{mg}{E}}$，其中 $E=U/d$。但 $m$ 未知 → 此时还算不出 $Q$。 b) 下沉： 断电 → 加速下落直到 Stokes 阻力抵消重力 → 匀速 $v$。平衡：$6\pi \eta rv=mg$；代入 $m=\rho \frac{4}{3}\pi r^3$：$$6\pi \eta rv=\rho \frac{4}{3}\pi r^{3}g\Rightarrow r^2=\frac{9\eta v}{2\rho g}\Rightarrow r=\sqrt{\frac{9\eta v}{2g\rho }}$$代入数字：$$r=\sqrt{\frac{9\cdot 1,82\cdot {10}^{-5}\cdot 1,0\cdot {10}^{-4}}{2\cdot 9,81\cdot 900}}=\sqrt{\frac{\mathrm{1,638}\cdot {10}^{-8}}{17658}}=\sqrt{9,28\cdot {10}^{-13}}\approx 9,6\cdot {10}^{-7}\text{m}\approx 1\text{µm}$$$$m=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3=900\cdot \mathrm{4,189}\cdot (9,63\cdot {10}^{-7}{)}^3=900\cdot \mathrm{4,189}\cdot 8,93\cdot {10}^{-19}\approx 3,37\cdot {10}^{-15}\text{kg}$$c) 分析： $E=U/d=620/\mathrm{0,006}\approx 1,03\cdot {10}^5$ V/m；$$Q=\frac{mg}{E}=\frac{3,37\cdot {10}^{-15}\cdot 9,81}{1,03\cdot {10}^5}=\frac{3,30\cdot {10}^{-14}}{1,03\cdot {10}^5}\approx 3,2\cdot {10}^{-19}\text{C}$$$$\frac{Q}{e}=\frac{3,2\cdot {10}^{-19}}{1,6\cdot {10}^{-19}}=2,0\Rightarrow Q=2e(n=2)$$验算： 分子 $9\cdot 1,82\cdot {10}^{-5}=\mathrm{1,638}\cdot {10}^{-4}$，乘 ${10}^{-4}$ → $\mathrm{1,638}\cdot {10}^{-8}$ ✓；分母 $2\cdot 9,81\cdot 900=17658$ ✓；$\mathrm{1,638}\cdot {10}^{-8}/17658=9,28\cdot {10}^{-13}$ ✓；$\sqrt{9,28\cdot {10}^{-13}}=9,63\cdot {10}^{-7}$（$9,{63}^2=92,7$ ✓）；$r^3=r^2\cdot r=9,28\cdot {10}^{-13}\cdot 9,63\cdot {10}^{-7}=8,93\cdot {10}^{-19}$ ✓；$mg=3,30\cdot {10}^{-14}$ N ✓。量级合理：µm 级油滴、${10}^{-15}$ kg、${10}^{-19}$ C ✓。→ §4.3 第 1 阶段 · 第 2 阶段 · 第 3 阶段
5. 弯钩： Paradigma = 一个时代共同接受的基本图景；范式实验用测量把它推翻。但「被推翻」分两种：葡萄干蛋糕模型这类被干净利落驳倒（它对「弹回」的预言直接破产）；而像经典力学这样的大理论只是被限定了适用范围——德语关键句：„Falsch heißt nicht, dass alles falsch wäre — die Theorie behält ihren Gültigkeitsbereich." 所以问「旧范式 falsch 吗」要先问：它是个具体模型还是个理论框架。→ §4 导言

追问链答案

1. 它们各自推翻一个旧基本观念、立起新的：Rutherford——葡萄干蛋糕 → 核-壳模型；Cavendish——$G$ 首次实验室可测 → 地球「可称量」；Millikan——电荷不可无限细分 → 量子化；Doppelspalt——「波或粒子」二选一瓦解 → 波粒二象性。用测量而非思辨回答根本问题。→ §4 导言
2. 这是卢瑟福式的震惊比喻：按旧模型 α 粒子绝不该被弹回，可极少数几乎原路返回——震惊程度如同炮弹被薄纸弹回；唯一解释是极小、极致密的核。→ §4.1
3. 原则上可以做散射,但金是最佳选择：铝箔做不到几百个原子层那么薄（金延展性极好），且铝核轻、电荷少 → 强偏转更罕见、信号更弱。实验的关键正是「尽量少的原子 + 尽量重的核」。→ §4.1
4. 因为两个实验室物体间的引力微小到当时无法测量（$\sim {10}^{-7}$ N 量级）——天文上 $G$ 总是与天体质量绑在一起出现（$GM$），单独分不出来。直到卡文迪许的扭秤 + 镜子妙用才把这么弱的信号变得可见。→ §4.2
5. 他的本意是测地球的密度——「称量地球」；引力常数是随之得到的副产品。→ §4.2
6. 镜子把微小转动放大成远墙上光点的大幅移动（等腰三角形）——否则运动不可见；按反射定律，镜子转 $\mathrm{\Theta }$、反射光束转 $2\mathrm{\Theta }$ → 待测角加倍、更易测。→ §4.2
7. 不行——「更干净」恰恰致命：第 2 阶段靠 Stokes 空气阻力建立匀速下沉的新平衡来定 $m$；真空里油滴只会一直加速，$m$ 就定不出来。→ §4.3
8. 水滴在数分钟观察期间蒸发——$m$ 和 $r$ 不断变化，整个分析垮掉；油蒸气压极低，油滴保持不变。→ §4.3
9. 落在一个点上——但事先说不出是哪个点：只能给出概率 $|\psi {|}^2$。单次结果是量子随机的，可预言的只是大量光子的统计图样。→ §4.4
10. 从不——记录到的永远是一整个光子；「同时过两缝」的是波函数，不是被劈成两半的光子。→ §4.4
11. 标准答法：只要不测量，「通过哪条缝」这个问题就没有答案——光子处于同时通过两条缝的叠加态；一旦测量，叠加态坍缩、图样消失。问「它到底走了哪条」在不测量时是个没有意义的问题。→ §4.4
12. 不矛盾：密立根测的是自由电荷——自由出现的电荷永远是 $e$ 的整数倍；夸克带 $e/3$、$2e/3$，但从不单独自由出现（参见夸克模型），所以油滴上永远测不到分数电荷。量子化结论在其适用范围内完好无损。→ §4.3